É utilizado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma
tabela da verdade para o circuito lógico correspondente.
Roteiro de simplificação
passo-a-passo.
1) Mapear a tabela da verdade.
Isto é, construir o Mapa de
Karnaugh. Colocando os 1’s nos quadros
que correspondem aos 1’s na Tabela da Verdade e preencher com 0’s o restante
dos espaços que sobraram. Em outras
palavras, transferir os dados da tabela da verdade para o Mapa de Karnaugh.
2) Uma vez que a tabela da verdade esteja mapeada,
é preciso agrupar as regiões. Para isso, devem-se considerar os seguintes
aspectos:
· A resolução de um mapa
pode ser realizada por saídas iguais a 1 (um), ou a 0 (zero), mas, é mais comum
considerar saídas iguais a 1 (um).
· Um enlace – agrupamento de células adjacentes,
com saídas iguais, do qual se pode extrair diretamente uma expressão booleana
simplificada – envolvendo uma única célula não resulta em simplificação. Quando
não são possíveis enlaces envolvendo mais de uma célula, significa que a
expressão não pode ser simplificada algebricamente.
· Quanto maior o enlace, menor o termo
correspondente e, portanto, mais simplificada fica a expressão booleana do Mapa
de Karnaugh considerado; e mais simples, com menor probabilidade de falhas,
mais barato, será o circuito eletrônico (ou elétrico) a ser montado.
· Dois enlaces podem ter uma célula em comum.
· Quanto menor o número de enlaces, menos termos
tem a expressão booleana do Mapa de Karnaugh considerado e, portanto, ela fica
mais simplificada.
· Os passos para
simplificação consistem em: formar oitavas (possível em diagramas de 4
variáveis); formar quadras (possível em diagramas de 3 e 4 variáveis).
· Uma oitava agrupada representa maior
simplificação que uma quadra, que por sua vez representa maior simplificação
que um par, e este maior simplificação que um termo isolado. Portanto, deve-se
preferir agrupar em oitava, e se não for possível em quadras e, se também não
for possível, em pares, mesmo que alguns elementos já tenham sido considerados
em outros agrupamentos. Lembrando que se deve ter o menor número possível de
agrupamentos.
· Sempre que uma ou mais saídas forem irrelevantes
(= don’t care), cada uma delas deve ser considerada 0 (zero), ou 1 (um) de
forma que os enlaces se tornem maiores para que seus termos correspondentes se
tornem menores.
· A resolução de um Mapa de Karnaugh com enlaces
menores do que os possíveis (ou com um número de enlaces maior do que o
necessário) resulta, também, em uma expressão booleana correta, porém, não
totalmente simplificada.
·
Quando
uma variável aparece nas formas barrada e não-barrada em um grupamento
(=enlaces), tal variável é eliminada da expressão. As variáveis que não se alteram para
todos os quadros do grupamento têm de permanecer na expressão final.
Em outras palavras:
Após
o Mapa de Karnaugh ter sido construído, a próxima tarefa é encontrar os termos
mínimos a usar na expressão final. Estes termos são encontrados agrupando
conjuntos de 1´s adjacentes no mapa. O agrupamento deve ser retangular e deve
ter uma área igual a uma potência de 2 (isto é: 2, 4, 8, …). Os retângulos
devem ser os maiores possíveis, sem conter nenhum 0.
3) A expressão simplificada será a somatória das
regiões (=enlaces, agrupamentos) encontradas.
1) Mapa de Karnaugh
para duas variáveis
Vamos considerar a
seguinte tabela da verdade, para montar o Mapa de Karnaugh, onde A e B são as entradas e F a
saída de um sistema qualquer.
O que faz mudar de estado
é o nível lógico 1 (por convenção), logo a expressão correspondente à saída do
circuito lógico é:
Vamos simplificar pelo
Mapa de Karnaugh.
O Mapa de Karnaugh apresenta
a seguinte configuração. Sendo que cada espaço é completado com seu nível
lógico equivalente (de acordo com a tabela da verdade).
Com mapa pronto, devemos
destacar os mintermos, em outras
palavras, considerar somente os campos que possuem 1 como solução final. Devem
ser agrupados em pares, para isso ocorrer, os elementos devem estar lado-a-lado (=adjacentes);
poder ser tanto horizontal, como na vertical.
Portanto, separando em
pares temos:
Notamos que os campos
selecionados com a cor vermelha, estão na coluna B (barrado, negado). E os
campos selecionados com a cor azul estão na linha A.
Portanto, assim formando a
expressão simplificada
2) Mapa de Karnaugh
para três variáveis
Vamos pegar a tabela da
verdade, a seguir, onde A, B e C são entradas e F é a saída:
A expressão da saída antes
da simplificação é:
O Mapa de Mapa de Karnaugh fica:
Os agrupamentos (=enlaces)
possíveis são como mostra a figura a seguir:
Observamos que
os campos com a cor azul, estão na coluna da variável C e linha da variável A
(barrado). Já os elementos com
a cor verde pertencem à coluna da variável C (barrado) e linha da variável A.
Os elementos com a cor vermelha são da coluna B
(barrado) e C.
Então, a expressão de
saída simplificada é:
Outro método para
construir o Mapa
Mapeando a tabela da
verdade:
Idem anterior:
Observamos que
os campos com a cor azul, estão na coluna da variável C e linha da variável A
(barrado). Já os elementos com
a cor verde pertencem à coluna da variável C (barrado) e linha da variável A.
Os elementos com a cor vermelha são da coluna B
(barrado) e C.
Então, a expressão de
saída simplificada é:
3) Mapa de Karnaugh
para quatro variáveis
Uma das formas é utilizar
a matriz de 4x4 da seguinte maneira:
Explicando como funciona o
mapa:
Cada entrada (sendo elas
A, B, C, D), ou suas respectivas negações, correspondem a 8 campos cada. Vejamos como fica a estrutura do Mapa de
Karnaugh.
Vamos considerar a
seguinte tabela da verdade, como exemplo, para montar o Mapa de Karnaugh, onde A, B,
C, D são as entradas e F a saída
de um sistema qualquer.
Mapeando a tabela da
verdade, temos:
Lembrando que os enlaces
(=agrupamentos) devem ser quadrados, ou retângulos e, também, devem conter
quantidades baseadas em potências de 2, (ou seja: 2, 4, 8).
Sendo assim, a expressão
simplificada para este exemplo é a seguinte:
Outra maneira
para construir o Mapa
Mapeando a tabela da
verdade, temo-se:
Portanto, a expressão
simplificada para este exemplo é a seguinte:
OBSERVAÇÕES:
1) Para mapas com variáveis de entrada superiores, ou iguais a 3, é interessante
conhecer o Código Gray. Resumidamente,
Código Gray – de um número para outro, apenas um bit varia.
2) Quando
uma variável aparece nas formas barrada e não-barrada em um grupamento
(=enlaces), tal variável é eliminada da expressão. As variáveis que não se alteram para
todos os quadros do grupamento têm de permanecer na expressão final.
