Eletrônica Digital: ÁLGEBRA BOOLEANA

É um recurso matemático para se expressar, analisar e projetar circuitos lógicos. É uma linguagem especial dos circuitos lógicos digitais.

Um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados e teoremas. Usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que pode assumir apenas um dentre dois valores, 0 (zero), ou 1 (um). Trabalha com sete operadores básicos AND, OR, NOT, NAND, NOR, EXOR e EXNOR. Os operadores AND e OR correspondem, respectivamente, às operações de intersecção e união da teoria dos conjuntos.

Uma Expressão Booleana é uma equação que define a saída de um circuito lógico.

A Álgebra Booleana é muito útil no projeto de circuitos lógicos, pois sua aplicação resulta sempre em circuitos que são os mais simples, mais baratos, mais eficientes e mais confiáveis (MTBF maior). MTBF= Mean Time Between Failures (em inglês) – tempo médio entre falhas.

Postulados (axiomas) booleanos:

São sentenças ou proposições que não são provadas ou demonstradas e são consideradas como verdadeiras, óbvias, ou como um consenso inicial necessários para a construção, ou aceitação de uma teoria.

P1: X = 0, ou X = 1
P2: 0 . 0 = 0
P3: 1 + 1 = 1
P4: 0 + 0 = 0
P5: 1 . 1 = 1
P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0
P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Teoremas booleanos:

São sentenças ou proposições ou afirmações que devem ser provadas.

T1 : Propriedade Comutativa

T2 : Propriedade Associativa

T3 : Propriedade Distributiva

T4 : Identidade

T5 :

T6 : Redundância

T7 :

T8 :

T9 :

T10 :

T11 : Teorema de Morgan

Tabela da Verdade:

É um mapa onde são colocadas todas as possíveis interpretações (situações, combinações) de um sistema lógico, com seus respectivos resultados para uma expressão booleana qualquer.

Em geral, para N variáveis booleanas de entrada, há 2^Ninterpretações (combinações) possíveis.

Uma tabela da verdade representa o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica.

1) Tabela da Verdade obtida a partir de Expressão Booleana

Uma das maneiras de se fazer o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela da verdade. Para extrair a tabela da verdade de uma expressão devem-se seguir alguns passos:

a) Montar o quadro de possibilidades;

b) Montar colunas para os vários membros da equação;

c) Preencher estas colunas com os seus resultados;

d) Montar uma coluna para o resultado final e;

e) Preencher esta coluna com os resultados finais.

Ilustração:

Vamos utilizar a seguinte expressão booleana:

Observa-se que a expressão contém 4 variáveis de entrada: A, B, C e D,logo, existem 2⁴ = 16 possibilidades de combinação de entrada.

Portanto, monta-se o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão, e uma coluna para o resultado final.

2) Expressão Booleana obtida de Tabela da Verdade

Obter expressões e circuitos a partir de Tabelas da Verdade, sendo este método mais comum de projetos práticos, pois, geralmente, necessita-se representar situações através de Tabela da Verdade e a partir destas, obter a expressão booleana e consequentemente, o circuito lógico correspondente.

Ilustração:

Vamos utilizar a seguinte Tabela da Verdade: