Mapa de Karnaugh (Diagrama de Karnaugh)

É utilizado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabela da verdade para o circuito lógico correspondente.

O método de leitura por "Mapa de Karnaugh" é considerado mais simples que a "álgebra booleana", pois elimina o problema de erro nas simplificações. Porém quando utilizado mais de 6 entradas, esse método se torna complicado, pois fica difícil identificar as células adjacentes no mapa.

Roteiro de simplificação passo-a-passo.

1)  Mapear a tabela da verdade. 

Isto é, construir o Mapa de Karnaugh.  Colocando os 1’s nos quadros que correspondem aos 1’s na Tabela da Verdade e preencher com 0’s o restante dos espaços que sobraram.  Em outras palavras, transferir os dados da tabela da verdade para o Mapa de Karnaugh.

2)  Uma vez que a tabela da verdade esteja mapeada, é preciso agrupar as regiões. Para isso, devem-se considerar os seguintes aspectos:

·      A resolução de um mapa pode ser realizada por saídas iguais a 1 (um), ou a 0 (zero), mas, é mais comum considerar saídas iguais a 1 (um).

·      Um enlace – agrupamento de células adjacentes, com saídas iguais, do qual se pode extrair diretamente uma expressão booleana simplificada – envolvendo uma única célula não resulta em simplificação. Quando não são possíveis enlaces envolvendo mais de uma célula, significa que a expressão não pode ser simplificada algebricamente.

·      Quanto maior o enlace, menor o termo correspondente e, portanto, mais simplificada fica a expressão booleana do Mapa de Karnaugh considerado; e mais simples, com menor probabilidade de falhas, mais barato, será o circuito eletrônico (ou elétrico) a ser montado.

·      Dois enlaces podem ter uma célula em comum.

·      Quanto menor o número de enlaces, menos termos tem a expressão booleana do Mapa de Karnaugh considerado e, portanto, ela fica mais simplificada.

·      Os passos para simplificação consistem em: formar oitavas (possível em diagramas de 4 variáveis); formar quadras (possível em diagramas de 3 e 4 variáveis).

·       Uma oitava agrupada representa maior simplificação que uma quadra, que por sua vez representa maior simplificação que um par, e este maior simplificação que um termo isolado. Portanto, deve-se preferir agrupar em oitava, e se não for possível em quadras e, se também não for possível, em pares, mesmo que alguns elementos já tenham sido considerados em outros agrupamentos. Lembrando que se deve ter o menor número possível de agrupamentos.

·      Sempre que uma ou mais saídas forem irrelevantes (= don’t care), cada uma delas deve ser considerada 0 (zero), ou 1 (um) de forma que os enlaces se tornem maiores para que seus termos correspondentes se tornem menores.

·      A resolução de um Mapa de Karnaugh com enlaces menores do que os possíveis (ou com um número de enlaces maior do que o necessário) resulta, também, em uma expressão booleana correta, porém, não totalmente simplificada.

·         Quando uma variável aparece nas formas barrada e não-barrada em um grupamento (=enlaces), tal variável é eliminada da expressão. As variáveis que não se alteram para todos os quadros do grupamento têm de permanecer na expressão final. 

Em outras palavras:

Após o Mapa de Karnaugh ter sido construído, a próxima tarefa é encontrar os termos mínimos a usar na expressão final. Estes termos são encontrados agrupando conjuntos de 1´s adjacentes no mapa. O agrupamento deve ser retangular e deve ter uma área igual a uma potência de 2 (isto é: 2, 4, 8, …). Os retângulos devem ser os maiores possíveis, sem conter nenhum 0. 

3)  A expressão simplificada será a somatória das regiões (=enlaces, agrupamentos) encontradas.

1) Mapa de Karnaugh para duas variáveis

Vamos considerar a seguinte tabela da verdade, para montar o Mapa de Karnaugh, onde A e B são as entradas e F a saída de um sistema qualquer.

O que faz mudar de estado é o nível lógico 1 (por convenção), logo a expressão correspondente à saída do circuito lógico é:

Vamos simplificar pelo Mapa de Karnaugh.

O Mapa de Karnaugh apresenta a seguinte configuração. Sendo que cada espaço é completado com seu nível lógico equivalente (de acordo com a tabela da verdade).

 

Com mapa pronto, devemos destacar os mintermos, em outras palavras, considerar somente os campos que possuem 1 como solução final. Devem ser agrupados em pares, para isso ocorrer, os elementos devem estar lado-a-lado (=adjacentes); poder ser tanto horizontal, como na vertical.

Portanto, separando em pares temos:

Notamos que os campos selecionados com a cor vermelha, estão na coluna B (barrado, negado). E os campos selecionados com a cor azul estão na linha A.

Portanto, assim formando a expressão simplificada

2) Mapa de Karnaugh para três variáveis

Vamos pegar a tabela da verdade, a seguir, onde A, B e C são entradas e F é a saída:

A expressão da saída antes da simplificação é:

O Mapa de Mapa de Karnaugh fica:

Os agrupamentos (=enlaces) possíveis são como mostra a figura a seguir:

Observamos que os campos com a cor azul, estão na coluna da variável C e linha da variável A (barrado).  Já os elementos com a cor verde pertencem à coluna da variável C (barrado) e linha da variável A. Os elementos com a cor vermelha são da coluna B (barrado) e C.

Então, a expressão de saída simplificada é:

Outro método para construir o Mapa

Mapeando a tabela da verdade:

Idem anterior:

Observamos que os campos com a cor azul, estão na coluna da variável C e linha da variável A (barrado).  Já os elementos com a cor verde pertencem à coluna da variável C (barrado) e linha da variável A. Os elementos com a cor vermelha são da coluna B (barrado) e C.

Então, a expressão de saída simplificada é:

3) Mapa de Karnaugh para quatro variáveis

Uma das formas é utilizar a matriz de 4x4 da seguinte maneira:

Explicando como funciona o mapa:

Cada entrada (sendo elas A, B, C, D), ou suas respectivas negações, correspondem a 8 campos cada.  Vejamos como fica a estrutura do Mapa de Karnaugh.

Vamos considerar a seguinte tabela da verdade, como exemplo, para montar o Mapa de Karnaugh, onde A, B, C, D são as entradas e F a saída de um sistema qualquer.

Mapeando a tabela da verdade, temos:

Lembrando que os enlaces (=agrupamentos) devem ser quadrados, ou retângulos e, também, devem conter quantidades baseadas em potências de 2, (ou seja: 2, 4, 8).

Sendo assim, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte:

Outra maneira para construir o Mapa

Mapeando a tabela da verdade, temo-se:

Portanto, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte:

OBSERVAÇÕES:

1) Para mapas com variáveis de entrada superiores, ou iguais a 3, é interessante conhecer o Código Gray.  Resumidamente, Código Gray – de um número para outro, apenas um bit varia.

2) Quando uma variável aparece nas formas barrada e não-barrada em um grupamento (=enlaces), tal variável é eliminada da expressão. As variáveis que não se alteram para todos os quadros do grupamento têm de permanecer na expressão final.